正規分布の平均値と標準偏差との関係を模式的に示した図 青色部分の面積と橙色の面積との合計が、全面積の95%を示し、 その面積に対応する区間内の数値（\( \mu \pm 1.96\sigma \)）が95%の確率で発生することを示す。 正規分布の確率密度関数から，正規確率変数の期待値(平均)，分散，標準偏差を計算する方法を示します．計算の過程で，ガウス積分の公式を用います．一般に，連続確率変数の期待値は，確率密度関数とその引数の積を積分することにより得られます． たとえば、正規分布には. 正規分布の確率密度関数は複雑そうですが， 基本形を考えればだいぶ簡単になります。 正規分布の中でも平均が $\mu=0$，分散が $\sigma^2=1$ であるようなものが特に重要で，標準正規分布と呼ばれます。 正規分布を利用すると下の問題のように、全体の割合や合格に必要な得点などを予測することができます。 例 題 ある大学の入試結果は平均60 点、標準偏差10 点の正規分布にしたがっている。このとき、(1)70 点 以上の学生の割合を求めなさい。 == 正規分布 == 【標準正規分布】…平均 0 ，標準偏差 1 の正規分布 統計において最も重要で，最もよく登場するのが正規分布（ガウス分布）です．特に，平均が 0 ，標準偏差が 1 となる正規分布のことを標準正規分布といいます． 標準正規分布は 正規分布が重要なのは “母集団の分布にかかわらず、母集団から抽出された標本の数が十分に多い場合、標本平均の分布は正規分布に従う”という性質 に由来する。; 正規分布の形は、平均と標準偏差によって決まる。 正規分布（ガウス分布）に関してまとめ. 正規分布は、左右対称な分布で、山の高い部分が平均値となる。 平均が 60，標準偏差が 10 の正規分布を表すグラフは、「ア」のグラフになる。 イのグラフは、 標準偏差がまちがっている。 【平成14年春 問07】 【平成20年秋 問04 ソフトウェア開発】 ということが分 … 練習問題2 ある模擬試験に 5000 人が受験したところ，その成績は，平均値 65 点，標準偏差 10 点の正規分布に従った。 (1) ある生徒が，75 点以上 85 点以下である確率を求めよ。 (2) この試験において，上位 5 %に入るためには，何点以上あればよいか。 平均 ± 1×標準偏差の範囲に全体の約68.3%が含まれ、 平均 ± 2×標準偏差の範囲に全体の約95.5%が含まれ、 平均 ± 3×標準偏差の範囲に全体の約99.7%が含まれる. 正規分布では（平均）±1.96×（標準偏差）の範囲に入る確率は95%になる．（ z=1.96 のときの正規分布表の値が 0.475 だから両側で 0.95 になる．） ※ 標本平均 の標準偏差として利用するもの
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